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필자는 삼각함수와 오랜 인연을 맺어왔다. 중학교 2학년 때 피타고라스 정리를 공부했다. 주로 학기 시작 전 미리 수학 교과서를 받으면 방학 때 새 책 냄새를 맡으면서 혼자서 공부했다. 이론을 공부하고, 정리를 증명해 보고, 연습 문제도 풀어보면 재미가 쏠쏠했다.
정리를 증명하는 쾌감은 수학의 꽃이다. 그러고 나서 학기가 시작되면 수학 시간이 상당히 재미있다. 피타고라스 정리도 중학교 2학년 여름 방학 때 혼자서 공부하고 증명하면서 재미에 푹 빠졌다. 삼각형의 각종 원리를 이용해 증명하는데, 그 중 하나가 밑변이 같고 높이가 같으면 모양에 관계 없이 삼각형 면적이 같다는 원리이다.
이후 중고등 학교 때의 삼각함수 공부는 sin(x), cos(x), tan(x) 함수로 불리는 함수를 정의하고 그 성질을 이용해 간단한 물리 문제를 푸는 연습이었다. 예를 들어 x가 60도의 경우 각 함수의 값을 구했다. x는 각도로 표시되기도 하고, 라디안(radian)이라고 하는 3.141592654 의 곱으로 표시하기도 한다. 이 때 피타고라스 원리를 사용하기도 한다.
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이런 삼각함수 값들을 이용해서 기울기 경사면에 물체가 놓여 있을 때 바닥으로 받는 힘과 경사면으로 받는 힘을 계산하는 문제를 푸는데 사용하기도 했다. 고등학교 때는 삼각함수의 미적분을 수식으로 풀기도 했다. 그리고 sin(x) 의 미분은 cos(x) 가 되고 cox(x) 미분은 –sin(x) 가 된다는 것도 이용했다. 특히 삼각함수끼리의 곱은 복잡한 수식으로 표현되어, 매우 복잡한데, 단순히 수식을 외워서 응용했다.
삼각함수, 그 오묘한 매력
대학에 가서 복소수를 이용하면 삼각함수의 수식이 아주 단순해진다는 것을 알게 됐다. 이때까지 삼각함수의 본질을 잘 알지 못했고 왜 배우는지도 몰랐다. 이를 알려주는 선생님도 없었다. 대학에서도 문제 풀이는 했지만, 강의에서 전체적으로 의미를 설명하진 않았다. 문제만 풀었다. 삼각함수가 복잡한 함수일뿐 얼마나 아름다운 함수인지 알 수 없었다.
그런데 필자는 대학에서부터 지금까지 본격적으로 30년 이상을 삼각함수와 살고 있다. 내 운명이 이렇게 삼각함수와 얽혀서 살 줄은 정말 몰랐다. 특히 전자공학을 하고 전자파 분야가 본인의 핵심 연구 분야가 되면서 더 그렇게 되었는지도 모르겠다. 그런데 마침내 그 이유를 깨우치게 됐다.
진실은 이렇다. 대부분의 자연 현상은 일정한 주기를 갖고 반복되는 주기성을 갖고 있는데, 이러한 주기성을 갖고 있는 자연현상을 가장 잘 표현하는 함수가 바로 sin(x), cos(x) 로 표현되는 삼각함수이다.
가장 가까이 보면 우리 심장이 주기성을 갖고 있다. 시간 간격을 갖고 심장이 띈다. 심장이 멎으면 죽는다. 우리가 살아 있슴의 증명은 우리 몸이 주기성을 유지하고 있다는 것이다. 또한 지구가 돌고 해가 뜨고 지고, 달이 뜨고 지고 등 우주와 은하수가 주기를 갖고 있다. 뿐만 아니라 정보 전달의 핵심인 빛과 전자가 파동성을 갖는 순간, 바로 주기를 갖는다. 빛과 전자는 파동성과 입자성을 같이 갖고 있는 이중적 성격의 소유자이다. 결과적으로 원자내의 전자 활동, 반도체 내의 격자 구조, 그곳에서 움직이는 전자의 활동 등이 모두 주기성을 갖는다.
전자공학에서는 삼각함수 없으면 할 수 있는 일이 거의 없다. 전자공학을 달리 말하면 신호를 발생하고, 처리하고, 저장하고, 전송할 뿐 아니라 그에 필요한 전력을 공급하다. 무선 통신에 필요한 전자파도 주기성을 갖는 파동이다. 이 무선 통신 회로의 동작에 sin(x), cos(x) 로 표현되는 삼각함수를 사용한다. 이 삼각함수가 바로 주기성을 갖고 있다. 일정한 시간 후에 같은 현상이 반복되는 것이다. 이렇게 삼각함수를 사용하면 최적의 조건 속에서 최고의 효율로 신호를 사용하거나 전력을 공급할 수 있다. 회로와 안테나의 크기도 줄일 수 있다.
특히 주기를 갖는다는 것은 역수로 주파수를 정의할 수 있게 된다. 주파수가 전자공학의 핵심 변수이고 이 주파수에 따라 회로 설계, 부품 설계, 시스템 설계가 완전히 달라진다. 주기와 주파수가 우리 심장의 박동 수처럼 핵심 설계 변수가 된다. 의사가 환자의 상태를 볼 때 청진기를 이용해 심장의 맥박을 읽듯이 전자공학자도 오실로스코프나 스팩트럼 분석기, 네트워트 분석 측정기로 회로나 소자의 주기와 주파수를 읽고 파형을 분석한다. 주기가 변하거나 성분이 바뀌면 사람 몸과 마찬가지로 회로에 병이 난 것이다.
이러한 주기성을 갖는 자연현상이나, 전자공학의 신호 또는 전력 전달 현상의 표현에 sin(x), cos(x)로 표현되는 삼각함수가 가장 효과적인 함수다. sin(x) 함수를 그래프로 그려보면 아주 곡선이 예쁘다. 모나지 않은 우아한 곡선이다.
이러한 여러 가지 주기성을 갖는 삼각함수 여러 개를 시리즈로 더하면 어떤 주기 함수도 다 표현할 수 있다. 이것을 퓨리에 시리즈 함수라고 한다. 그러니 전자회로의 신호 및 전력 뿐만 아니라 심장 박동의 파동 모양도 기본 주기만 알면 삼각함수의 시리즈로 표현할 수 있다. 그래서 자연과학 공학 문제를 풀거나 솔류션을 내어 놓는데, 절대적으로 삼각함수가 유용하다. 첨단 반도체 설계, 메모리 설계, 스마트폰 설계, 자율주행자동차 설계 등 모든 분야에 핵심적으로 사용된다. 과학자, 공학 연구원이 되거나 제품 개발자가 되거나 모두 삼각함수와 평생 살게 된다. 그래서 중학교부터 삼각함수를 배운다. 그 걸 가르쳐 아무도 주지 않았다.
삼각함수도, 인생도, 오르막길 있으면 내리막길 있다
sin(x), cos(x) 로 표현되는 삼각함수는 여러 가지 아름다운 특징이 있다. 일단 올라가면 반드시 내려온다. 우리 인생도 비슷하다. 인생이 현재 아주 성공적이고 만족스럽다 하더라도 언젠가는 어려운 점이 있으면서 다시 상승세가 꺾이고 내려오게 된다. 잘 나갈 때 조심하라는 말도 같다.
거꾸로 현재 인생이 바닥이라 하더라도 언젠가는 다시 올라가게 된다. 삼각함수 sin(90도) 일 때 '1' 로 최대가 되고 sin(270도) 일 때 '-1' 로 최저가 된다. 시간에 따라 최대값과 최소값을 반복한다. 본인도 어떤 날 일이 정말 잘 풀릴 때가 있다. 그런 경우 다음날 어려운 일을 겪을 것을 감안한다. 그러면 너무 들뜨지도 않고 너무 우울해 지지 않게 된다. 인생을 삼각함수로 표현하면 주기를 갖고 오르내리게 된다.
삼각함수의 교훈은 현재 값보다 미분이 중요하다는 점이다. 현재의 값보다는 오히려 기울기가 중요하다. 기울기인 미분이 더 중요하다. sin(x) 보다 미분인 cox(x) 를 유심히 보자. 함수의 기울기가 '0'보다 큰 양의 구간이 행복한 기간이 된다. 기울기가 '0'보다 작은 음의 기울기인 구간은 열심히 해서 기울기를 바꾸는 노력이 필요하다. 또 다른 삼각함수의 가르침은 삼각함수를 시간을 충분히 갖고 적분하면 모두 상쇄되어 합이 “0” 이 된다는 사실이다. 양인 영역과 음인 영역의 면적이 같다. 결국 인생에서도 즐거움과 괴로움의 총 합은 같지 않을까. 그러면 욕망, 애착, 애증 등 미련을 떨쳐 버릴 수 있다. 인생도 빈손으로 왔다가 빈 손으로 가는 인생인데, 삼각함수가 이를 표현하고 있지 않은가. 자연과 인생을 이렇게 완벽하게 표현하는 삼각함수는 진정 아름다운 함수가 아닌가.
<김정호 카이스트 전기 및 전자공학과 교수>
